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微积分初步:函数的变化率

学习区 一位微笑着的普通男人 - 20
到底什么时候才能开始导?

要说在17世纪以前,随便问一个数学家:已知一抛物线与抛物线上一点,怎样求这点处的抛物线切线的斜率?大概你得不到一个准确的回答。但是,微积分能够很好地解决这一问题。

微积分之所以产生主要是当时科学家要研究三类问题:

  1. 求变速运动的瞬时速度
  2. 求曲线上一点处的切线
  3. 求最大值和最小值(ps.这个最大最小可不简单哦)

实际上,这三类问题都可归结为因变量相对于自变量变化而变化的快慢程度,即所谓函数的变化率问题。在真正学习导(数)之前,让我们了解一下函数的变化率罢。

下面是课本定义:

       设函数 y=f(x),x∈D,当自变量 x 由点 x₀ 变化到 x₀+Δx 时,相应的函数值由 f(x₀) 变化到   f(x₀+Δx) ,此时 f(x₀+Δx)-f(x₀) 就是相应于自变量 x 改变量 Δx 的函数改变量,比值

 

称为函数 y=f(x) 相应于自变量由 x₀ 变化到 x₀+Δx 时的平均变化率,也称为 y=f(x) 在区间[x₀,x₀+Δx](或[x₀+Δx,x₀])上的平均变化率,它反应了因变量 y 在以 x₀ 和x₀+Δx 为端点的区间上的平均变化快慢程度。

       那么,如果当Δx→0时,平均变化率的极限

 

存在,则称此极限值为函数 y=f(x) 在 x₀ 点的变化率,它反应了在 x₀ 点处因变量 y 随自变量的变化而变化的快慢程度。

 

这样看起来有点不好懂,我们可以举个例子:

一个微笑着的普通男人沿平直公路做变速直线运动,路程为s,运动时间为t,s=s(t)。

很明显,当时间由t₀变到t₀+Δt时,这位普通男人通过的距离为

那么,这位普通男人在 Δt 这段时间内的平均速度为

如果说这个普通男人做匀速直线运动,那么它在 Δt 这段时间内的平均速度就是他在任意时刻的速度。但当他做变速直线运动时,他的速度随时间而确定,如果说当时间间隔 Δt 非常非常小时。我们可以近似的认为他在时间区间[t₀+Δt , t₀+Δt]内做匀速直线运动,所以就可以用作为他在t₀时刻的瞬时速度 v(t₀) 的近似值。显然, Δt 越小,这个近似程度越好。特别地,当 时,将无限地接近于 v(t₀) ,即

由此可见 v(t₀) 就是路程函数 s(t) 在 t=t₀ 点的变化率(在函数图像上体现为这点处切线的斜率,具体内容下次再讲)

 

相信大家对函数的变化率有一定的了解了,已经迫不及待想(学习)导(数)了罢。先忍一忍,下次就可以开始导了。

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